• 확률분포의 모수추정 방법에는 "점추정과 구간추정"의 2가지 방법이 있다.(지수분포의 경우)
• 샘플 n 개를 채취하여 미리 정해진 시험중단시간인 tc시간까지 시험하고, tc시간이 되면 중단하는
정시중단시험(type Ⅰ censored test)의 경우는 다음과 같은 공식에 의거 평균 수명의 점추정치를 구한다.
① 도중에 교체하지 않는 경우
\begin{align*}
& \hat{\theta}=\frac{\sum t_{i}+(n-r)t_{c}}{r}
\\& 여기서 \quad T=\sum t_{i}+(n-r)t_{c} \quad , \quad t_{c} : 미리 정해진 시험중단시간
\end{align*}
② 도중에 교체하는 경우
\begin{align*}
& \hat{\theta}=\frac{n\cdot t_{c}}{r}
\\& 여기서 \quad T=n\cdot t_{c}\end{align*}
• 샘플 n 개를 채취하여 r 개가 고장날 때까지 시험하고, r 개가 고장나면 시험을 중단하는
정수중단시험(type Ⅱ censored test)의 경우 샘플 중 고장난 것을 "교체하느냐, 교체 안하느냐"에
따라 평균수명의 점추정치를 구분하여 구한다.
① 도중에 교체하지 않는 경우 (수리하지 못하는 제품)
\begin{align*}
& \hat{\theta}=\frac{\sum t_{i}+(n-r)t_{r}}{r}
\\& 여기서 \quad T=\sum t_{i}+(n-r)t_{r} \quad , \quad t_{r} : r 번째(또는 마지막)고장발생시간
\end{align*}
② 도중에 교체하는 경우 (수리하면서 사용하는 제품)
\begin{align*}
& \hat{\theta}=\frac{n\cdot t_{r}}{r}
\\& 여기서 \quad T=n\cdot t_{r}\end{align*}
• 이는 총시험기간 중 고장이 발생하지 않는, 즉 r =0인 경우임.
단위시간간격 중 발생하는 고장개수는,
포아송분포를 따르기 때문에, 고장개수가 c개 이하일 확률은 다음 식으로 된다.
$$$ \sum_{r=0}^c \frac{e^{-m}\cdot(m)^{r}}{r!}=\alpha \qquad (단 m=\lambda t)$$$
여기서 r =0이면 $$ e^{-m}=e^{-\lambda t}=\alpha $$가 되고,
신뢰수준 90%, 즉 α = 0.1 이면
$$ e^{-\lambda t}=0.1 $$ 에서 $$ -\lambda t = \ln 0.1 = -2.3$$ 이고
$$ \lambda_{u}=2.3/t $$ 이므로 $$ \lambda= \frac{1}{MTBF}=\frac{1}{\theta} $$ 의 관계에서 다음과 같은 식으로 된다.
$$ 신뢰수준 90%일 때, \theta_{L}=\frac{T}{2.3} $$
• 만일 신뢰수준을 95%로 하면 평균수명 추정치의 하한치 θ L은 다음 식으로 된다.
$$ 신뢰수준 90%일 때, \theta_{L}=\frac{T}{2.99} $$
(4)구간점검으로 고장난 것과 고장날 만한 것을 모두 새 것 교체한 경우 [품기1회]
• 이 경우의 평균수명은 다음 공식에 의거 추정한다.
$$$ \hat{\theta}=\frac{\sum t_{i}r_{i} + \sum t_{i}k_{i}}{r} $$$
여기서, ti: i번째 점검시간, ri: i시간에서의 구간고장개수
ki: i시간에서의 고장날 만하기 때문에 교환한 구간 교체수
r : 전체고장개수( r=Σ ri)
• 고장발생이 지수분포를 따를 때 $$ \frac{2r \hat \theta}{\theta} $$ 가 자유도가 2r 인 χ 2분포이므로
$$$ P_{r}\left[\chi_{\alpha /2}^2 (2r)
\le \frac{2r\hat \theta}{\theta} \le
\chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)\right] = 1-\alpha
$$$
$$ \hat \theta = \frac{T}{r} \quad 이므로 \quad T=r\cdot \hat \theta $$ 가 된다.
• 이것을 대입하고 정리하면 신뢰수준 1- α 에서의 θ 의 구간추정치는 다음 식과 같이 된다.
① 정수중단의 경우
$$$ \frac{2r\hat \theta}{\chi_{\alpha /2}^2 (2r)}
\le \theta \le
\frac{2r\hat \theta}{\chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)}
\quad (단\quad r \hat \theta=T)
$$$ ② 정시중단의 경우
$$$ \frac{2r\hat \theta}{\chi_{\alpha /2}^2 \left\{2(r+1)\right\}}
\le \theta \le
\frac{2r\hat \theta}{\chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)}
\quad (단\quad r \hat \theta=T)
$$$
① 정수중단의 경우
$$$ \theta_{L}=\frac{2T}{\chi_{\alpha}^2 (2r)}
=\frac{2r \cdot \hat \theta}{\chi_{\alpha}^2 (2r)}
$$$ ② 정시중단의 경우
$$$ \theta_{L}=\frac{2T}{\chi_{\alpha}^2 \left\{2(r+1)\right\}}
=\frac{2r \cdot \hat \theta}{\chi_{\alpha}^2 \left\{2(r+1)\right\}}
$$$
예제 6.6
n =10에 대하여 50시간에 걸쳐 수명시험을 하였더니 다음과 같은 고장시간 데이터가 얻어졌다.
그리고 샘플 중 고장난 것은 새 것으로 교체하지 않았다.
평균수명의 점추정치를 구하라.
| 고장순번(i) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 고장시간(ti) | 13 | 25 | 32 | 44 |
☞ n=10,r=4,tc= 50 이므로 평균수명의 점추정치는 다음과 같음. \begin{align*} & \hat{\theta}=\frac{T}{r} = \frac{\sum_{i=1}^r t_{i}+(n-r)t_{c}}{r} = \frac{(13+25+32+44) (10-4)(50)}{4} = 103.5(시간) \end{align*}
예제 6.7
어떤 제품에 대하여 MTTF를 추정하기 위하여 n =50개의 제품의 수명을 정시마감 tc=100일을 정하여
관측하여, 총고장수는 r =10개이고, 총동작시간은
$$$ T=\sum_{i=1}^r t_{i}+(n-r)t_{c} =\sum_{i=1}^{10} t_{i}+(50-10)(100)=4,500 \quad (시간). $$$
신뢰수준 90%로 양쪽추정에 의한 MTTF의 구간추정을 실시하라.
☞ 정시중단시험인 경우(교체하지 않는 경우)로서, 점추정치를 구하여 보면 다음과 같음.
$$$ \hat{\theta}=\overbrace{MTTF}=\frac{T}{r}=\frac{4,500}{10}=450 \quad (시간)$$$
☞ 다음으로 양쪽 추정에의한 심뢰구간은 다음과 같이 구간추정 된다. $$$ \frac{2r\hat \theta}{\chi_{\alpha /2}^2 \left\{2(r+1)\right\}} \le \theta \le \frac{2r\hat \theta}{\chi_{1-\alpha /2}^2 (2r)} \quad , \quad\frac{(10)(450)}{\chi_{0.05}^2 \left\{2(10+1)\right\}} \le \theta \le \frac{2(10)(450)}{\chi_{0.95}^2 \left\{2(10)\right\}} $$$ $$$ \frac{9,000}{33.92}\le \theta \le \frac{9,000}{10.85} \quad , \quad265.33\le \theta \le 829.49 $$$ 따라서 MTBF 신뢰구간은 265.33 시간 ~ 829.49 시간이다.
평균 추정 (Estimation of Mean)
$$$ \hat{\mu}=\bar{x}=\frac{\sum_{n=1}^{n}x_i}{n} $$$
구간(interval Estimation)추정 [Ⅳ-95 ] $$$ \bar{x}\ -z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\le\mu\le\bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$$ N (표본수)이 작아지면 신뢰구간의 범위가 커집니다.
(모집단의 표준편차를 모르는 경우) $$$ \bar{x}-t (\frac{\alpha}{2},\phi)\frac{s}{\sqrt n}\le\mu\le\bar{x}+t(\frac{\alpha}{2},\phi)\frac{s}{\sqrt n}$$$ $$$ phi\ =\ n-1 $$$
분산 추정 (Estimation of Variance)
자유도가 (n-1), 분산이 같다는 전제
$$$ \widehat{\sigma^2}=s^2=\frac{\sum_{n=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n\ -1} $$$- 구간(interval Estimation)추정
$$$\ \frac{(n-1)s^2}{X^2(\frac{\alpha}{2},n-1)}\le\sigma^2\le\\frac{(n-1)s^2}{X^2(1-\frac{\alpha}{2},n-1)} $$$
비율 추정 (Estimation of Proportion)
$$$ /hat{p}=p=\ \frac{d}{n} $$$
구간(interval Estimation)
$$$ p- z_{\alpha /2} \sqrt{\frac {p{\ (1-p)}}{n}\ }\le P \le p+ z_{\alpha /2} \sqrt{\frac{p{\ (1-p)}}{n}} $$$
80% 양측 : 1.282 0.94~0.96
P 관리도에서
$$$ p\ -3\ \sqrt{\frac{p{\ (1-p)}}{n}\ }\le P\le p+3\sqrt{\frac{p{\ (1-p)}}{n}} $$$
MTBF(or MTTF)추정 -Type l Censoring (정시중단)
$$$ \hat{\theta}=\frac{T}{r}\ =\ \frac{n\ T}{r}\ = \frac {20 \ units \times 300\ hr}{5 \ unit\ }\ =\ 1200\ hr $$$
$$$ \hat{\theta}=54\ ,\ \ T=\ 127\ ,\ r\ =\ $$$
$$$ \frac{2T}{X^2(\alpha\ ,2r+2)\ }\ \ \le\ \ \theta\ \ $$$
$$$ \frac{2T}{X^2(\frac{\alpha}{2},2r+2)\ }\ \ \le\ \ \theta\ \ \le\frac{2T}{X^2(1-\frac{\alpha}{2},2r)\ }$$$
α = 0.025 의 경우는 (0.01 + 0.05)/ 2.0 유사
T = Total 확인 , r : 전체수량(n)이 아님
MTBF(or MTTF)추정 -Type ll Censoring (정수중단)
$$$ \hat{\theta}=\frac{T}{r} $$$
$$$\frac{2T}{X^2(\alpha\ ,2r)\ }\ \ \le\ \ \theta\ \ $$$
$$$\frac{2T}{X^2(\frac{\alpha}{2},2r)\ }\ \ \le\ \ \theta\ \ \le\frac{2T}{X^2(1-\frac{\alpha}{2},2r)\ }$$$
부품수 추정(No. of Samples)
$$$\ n=(\frac{Z \times \sigma}{E})^2 $$$
Z\∶\ 양측 구간
E = Error desired
$$$\ n=(\frac{Z\times\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})}}{E})^2 $$$
⋅ p1-p ∆p2 = E = ∆p = Error desired
• 수명시험의 일반적 방법은 정상수명시험을 이용하고,
신뢰성을 정확히 파악하기 위해서는 전수시험이 필요한다.
검사비용을 줄이는 경제성을 고려하면 검사 데이터 수의 감소화를 위해서는
중도 중단시험, 가속수명시험이 필요한다.
• 중도 중단시험은 정수중단시험과 정시중단시험이 있다.
• 제품의 신뢰성추정은 고장확률밀도함수가 지수분포, 정규분포 또는 와이블분포의 어느 하나를
따른다는 것을 알면 샘플 데이터에 의거 그 확률분포의 모수만 추정하면 신뢰성척도인
$$ F(t), R(t), f(t), λ(t)$$ 및 평균수명을 구할 수 있다.
• 즉, 고장률의 형태에 따른 신뢰성 척도의 추정이 가능하게 된다.
① CFR (고장확률밀도함수가 지수분포를 따르는 경우)
지수분포의 모수인 평균수명 θ (또는 MTBF), 평균고장률 λ 의 추정이 가능한다.
② IFR (고장확률밀도함수가 정규분포를 따르는 경우)
정규분포의 모수인 평균수명 μ, 표준편차 σ 추정이 가능한다..
③ 고장률이 CFR인지, IFR인지, DFR인지 확실히 모르는 경우
와이블분포로 가정하고 샘플로부터 m, η , γ 추정에 의한 μ , σ의 추정이 가능한다..
• 전수고장시의 신뢰성추정으로서 고장이 지수분포에 따르는 경우
중도중단이라고 볼 수 없는 경우 평균수명 θ의 점추정은 다음 식에 의한다.
$$$ \hat{\theta}=\frac{\sum_{i=1}^n t_{i}}{n}=\frac{T}{n} $$$
여기서, n:샘플수, T:총시험시간, ti: i 번째 고장발생 시간
또는 평균수명은 θ 대신에 MTBF(혹은 MTTF)를 사용하기도 한다.
• 고장이 지수분포를 따르고 전수고장(완전시료)일 때
평균수명( θ )의 구간추정은 정수중단 규정을 따라 실시된다.
• 한편 얻어진 데이터가 가정한 모집단의 분포에 적합한가의 검정하는 것이 적합도검정이며
다음과 같은 방법 등이 있다.
① χ 2검정 $$ \chi^{2}=\sum \left\{(O-E)^{2} / E \right\}
=\sum \left\{(관측치-기대치)^{2} / 기대치 \right\} $$
② 고루모고로프-스미르노프 검정 (d-test)
③ Bartlett검정
④ 확률지타점법 : 타점들이 직선관계이면 고장데이터가 가정된 분포를 따른다고 판정.
• 이들 중에서 Bartlett 검정 방법은 n ≥ 20 인 경우에 적용하며, 검정통계량( Br )으로서
다음 식을 사용한다.
$$$ B_{r}=\frac{2r\left[\ln \left(\frac{t_{r}}{r} \right)-\frac{1}{r}\sum \ln x_{i}\right]}
{1+\frac{r+1}{6r}} $$$
여기서, xi: 고장발생시간간격을 나타내는 확률변수, r : 고장개수,
$$ t_{r}=\sum_{i=1}^r x_{i} : \textbf{r 번째 고장까지의 고장발생시간 합} $$
위의 공식에 의거 검정통계량 Br을 구한 후, 검정통계량 Bsub>r이 다음의 기각역 조건인
$$$ B_{r}\lt \chi_{\alpha / 2}^2 (V)\quad or \quad B_{r}\gt \chi_{1- \alpha / 2}^2 (V)\qquad (여기서, V=r-1)$$$
을 만족하면 H0(지수분포로 가정해도 좋다)를 기각하고, 그렇지 않으면 H0를 채택한다.
예제 6.5
n = 20에 대하여 245 시간 동안의 진동시험결과 모두 고장났으며 고장발생시간 간격은 다음과 같습니다.
평균수명의 점추정치를 구하고, 이들 데이터는 지수분포를 가정해도 좋은지를 적합도검정 검정을 하세요.
| 21.2 26.7 11.3 2.8 12.6 | 0.1 2.1 7.5 6.7 2.3 | 15.3 4.3 14.1 16.9 7.7 | 5.8 7.3 32.1 17.6 4.5 |
(1)평균수명의 점추정
n =20개, r =20개, $$ T=\sum t_{i}=218.9 $$ 이므로, 식 (6.41)에 대입하면 평균수명의 점추정치는
$$$ \hat{\theta}=\frac{T}{20}=\frac{218.9}{20}=10.945 (시간)$$$
(2)적합도 검정
① 가설설정 : H 0 : 지수분포에 따른다. H1 : 지수분포에 따른다고할수없다.
② 유의수준 : α=0.10으로 한다.
③ 검정통계량의 값(Br)계산
r =20번째까지의 고장발생시간의 합이 tr=218.9시간이고,
ln 21.2 , ln 26.7 , ... ,ln 4.5를 구하여 이것을 모두 합하면
$$ t_{r}=\sum_{i=1}^{20} \ln x_{i}=38.80 $$ 이므로, 이것을 식 (6.42)에 대입하여
$$$ B_{r}
=\frac{2r\left[\ln \left(\frac{t_{r}}{r} \right)-\frac{1}{r}\sum \ln x_{i}\right]} {1+\frac{r+1}{6r}}
=\frac{2(20)\left[\ln \left(\frac{218.9}{20} \right)-\frac{1}{20}(38.80)\right]} {1+\frac{21}{120}}
=15.42
$$$
검정통계량 Br을 구하면 다음과 같음.
④ 기각역 설정
$$$ B_{r}\lt \chi_{\alpha / 2}^2 (V)=\chi_{0.05}^2 (19)=10.12 \quad or \\quadB_{r}\gt \chi_{1- \alpha / 2}^2 (V)=\chi_{0.95}^2 (19)=30.14
$$$
즉, H0를 기각할수 없음, 이 통계량은 지수분포로 가정해도 좋음.